হিলবার্ট ইনফিনিটি প্যারাডক্স

হিলবার্ট ইনফিনিটি প্যারাডক্স

কোন সন্দেহ নেই অসীম একটি জটিল ও কঠিন ম্যাথমেটিক্যাল কনসেপ্ট। এমন অনেক ধারণা আছে যা আমরা আমাদের সজ্ঞা দ্বারা উপলব্ধি করি, সাধারণ কোন সংখ্যার ক্ষেত্রে যেটা একদম কাজ করেনা এবং এখানে রয়েছে সুস্পষ্টভাবে গণনাতীত প্যারাডক্স। অসীম থেকে বড় কোন সংখ্যার অস্তিত্ব আছে কি? অসীমের সাথে এক যোগ করলে কত হয়? কী ফলাফল আসবে যদি আমরা অসীমের সাথে অসীম যোগ করি?

অসীমকে যে সিম্বল দিয়ে প্রকাশ করা হয় তা মূলত একটি , Horizontal 8। ১৬১৬ থেকে ১৭০৩ সালে জন ওয়ালিস এটি আবিষ্কার করেন রোমান সংখ্যা M থেকে যেটি ছিল ১০০০ এর জন্য। কিন্তু আমরা জানি যে অসীম ১০০০ থেকে অনেক বিরাট। জার্মান গণিতবিদ ডেভিট হিলবার্ট অসীমের কিছু প্রপার্টি ব্যাখ্যা করতে চেয়েছেন এমন একটি হোটেলকে কল্পনা করে যেখানে অসীম সংখ্যক কক্ষ বিদ্যমান। হিলবার্ট ২০ শতকের প্রায় ২৩ টি গাণিতিক সমস্যা উপস্থাপন করেছিলেন যার জন্য তিনি ছিলেন বিখ্যাত। এ সকল সমস্যার মধ্যে অধিকাংশ সমস্যাই ছিল রাইম্যানের হাইপোথেসিসের মতো। আমরা সাধারণত অসীমের প্যারাডক্সগুলোকে ছয়টি ক্যাটাগরিতে ভাগ করতে পারি।

G.

গেব্রিয়েল প্যারাডক্স

গ্যালেলিও প্যারাডক্স

H.

হিলবার্ট প্যারাডক্স অব গ্র‍্যান্ড হোটেল

R.

রোজ লিটলউড প্যারাডক্স

S.

সেন্ট পিটাসবুর্গ প্যারাডক্স

T.

থমাস ল্যাম্প প্যারাডক্স

Z.

জেনোস প্যারাডক্স!

অসীমের প্যারাডক্সগুলোর মধ্যে জেনোর প্যারাডক্স ছিল বিপুল শক্তিশালী। কল্পনা করুন, একটি নদীর কথা, যার এপার থেকে ওপার পর্যন্ত যেকোনো নৌকা ব্যবহার করে অতিক্রম করা যায়। জেনোর প্যারাডক্স ছিল অনেকটা এমন যে, আপনি যদি নদীর পানিকে অসীম সংখ্যক বিন্দু (point) দিয়ে বিভক্ত করেন, তবে আপনি কখনোই নদীর এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে যেতে পারবেন না। জেনোর প্যারাডক্স বুঝতে হলে, আপনাকে যেকোনোকিছুর মধ্যে অসীম সংখ্যক বিন্দুতে কল্পনা করতে হবে। মনে করুন, অত্যন্ত ক্ষুদ্র আকারের এমিবার কথা । কল্পনা করুন, এমিবাটি অসীম সংখ্যক বিন্দুর একটি সমষ্টি। যেহেতু এমিবাটির মধ্যে অসীম সংখ্যক বিন্দু রয়েছে, আপনি যদি এমিবাটির শরীরের উপর একটি ইলেক্ট্রন ছেড়ে দেন তবে ইলেক্ট্রনটিকে অসীম সংখ্যক বিন্দু এক এক করে পাড়ি দিয়ে তারপরই এমিবার শরীরের শেষ প্রান্তে পৌঁছে যেতে হবে। কিন্তু আমরা জানি যে অসীমের মধ্যে শেষ বিন্দু বলতে কোন বিন্দু হয়না, যদি কোন একটি বিন্দু অসীম বিন্দুর শেষ বিন্দু হয় তবে সেটা আর অসীম থাকে না। আর এ জন্য ইলেক্ট্রনটি কখনোই এমিবার অসীমের শেষ বিন্দুতে যেতে পারবেনা। আর এভাবেই একটি ক্ষুদ্র এমিবা জেনোর প্যারাডক্সে অসীম হয়ে উঠে যাকে আমরা গাণিতিকভাবে এটিকে অতিক্রম করতে পারছিনা। আমরা যদি জেনোর প্যারাডক্স মেনে চিন্তা করি, তবে বলতে হয়, আমরা মহাবিশ্বের একটি প্লেস থেকে অন্য কোন প্লেসে যেতেই পারিনা, তার মানে, মোশন ও স্থান পরিবর্তন বলতে আমরা বাস্তব জগতে যে অভিজ্ঞতা লাভ করছি সেটা হয়তোবা একটি ইলুশন। যাইহোক এবার আমরা হিলবার্টের ইনফিনিটি হোটেল থেকে ঘুরে আসি।

Provoked by Zeno's Paradoxes - WSJ

হিলবার্ট হোটেল

হিলবার্ট হল বিশ্বের সবচেয়ে বড় হোটেল; এর রয়েছে অসীমভাবে অসংখ্য কক্ষ। আমরা কল্পনা করতে পারি যে, এ হোটেলে অন্তহীন একটি একক করিডোর রয়েছে যেখানে রয়েছে, কক্ষ নং 1,2,3 and So On! সেই দিন আপনি হিলবার্ট হোটেলে পৌঁছালেন, হোটেলের প্রতিটি রুম ছিল পরিপূর্ণ। ( ব্যাবসা সম্ভবত খুব ভালোই চলছে)

সাধারণ কোন হোটেলের ক্ষেত্রে, এমন পরিস্থিতিতে আপনাকে হোটেলের রিসেপশন থেকেই বিদায় দেয়া হবে কারণ খুব সাধারণভাবে আপনার জন্য সেখানে কোন স্পেস নেই। কিন্তু খুব বিস্ময়করভাবে ইনফিনিটি হোটেলের ক্ষেত্রে এটা মোটেই সত্য নয়। আমরা যখন একবার হোটেলে পৌঁছে যাবো, তখন সম্পূর্ণ হোটেলে লাউড স্পিকারে একটি ঘোষণা বেজে উঠবে, প্রত্যেকে আপনাদের পরবর্তী কক্ষে Move করুন।

আর সাথেসাথে Room-1 এর অতিথি Room-2 তে চলে যাবে, Room-2 এর অতিথি চলে যাবে Room-3 তে আর এভাবে n ‘তম রুমের কোন অতিথি ভ্রমণ করবে n+1 কক্ষে। এ প্রক্রিয়া অশেষভাবে চলতে থাকবে কিন্তু খেয়াল করুন, যেহেতু অসীমে কোন শেষ রুম নেই, তাই প্রতিটি গেস্টই নতুন করে এক একটি রুম পাবে।

এবার প্রথম রুমটি খালি। আমরা সেখানে মুভ করতে পারি। অবশ্য এটা কোন সসীম হোটেলে কাজ করবেনা। আমরা তবুও গেস্টদের পরবর্তী কক্ষে যেতে বলতে পারি। এখানে যে ব্যক্তি শেষ কক্ষে যাবে সে আর কোন কক্ষ খুঁজে পাবেনা। হিলবার্টে শেষতম রুম বলতে কোন রুম নেই, আর এ জন্য অসীমের সাথে আপনি যদি এক যোগ করেন তবে ফলাফল অসীমই হবে।

Best Hilbert Hotel GIFs | Gfycat

এবার আপনার ধারণাটি আর একটু সম্প্রসারণ করুন। মনে করুন, আরো দশজন নতুন গেস্ট এসেছে। রিসেপশন শুধু গেস্টদের পরবর্তী দশটি কক্ষে চলে যেতে বলল। যদি ১০০ জন গেস্ট আসে তবে পরবর্তী ১০০ কক্ষে। এভাবে আমরা এটা মিলিয়ন, বিলিয়ন, ট্রিলিয়ন, জিলিয়ন, কোয়াড্রিলিয়ন যে কোন সংখ্যার জন্য করতে পারি, আমরা প্রতিবারই সমান সংখ্যক নতুন কক্ষ খুঁজে পাবো। সম্পূর্ণ হোটেলের সকল কক্ষ পরিপূর্ণ থাকার পরও আমরা নতুন গেস্টদের যে কোন সংখ্যক রুমের ব্যবস্থা করে দিতে পারবো।

Remember, infinity plus 1 is still infinity - GIF on Imgur

এখন মনে করুন, হিলবার্ট হোটেলের প্রতিটি কক্ষ আবারও অসীম সংখ্যক অতিথি দ্বারা পরিপূর্ণ। আর এখন নতুন করে অসীম সংখ্যক গেস্টকে জায়গা দিতে হবে। পূর্বের পদ্ধতি আর কাজ করবেনা; আপনি অতিথিদের বলতে পারবেননা, অসীম সংখ্যক অজস্র কক্ষে Move করার জন্য। আর এভাবে তারা নতুন কোন রুম পাবেনা।কারণ অসীমের বাহিরে আর কোন অসীম নেই আর তাই অসীম সংখ্যক নতুন অতিথির জন্য অসীম সংখ্যক নতুন কক্ষ সম্ভব নয়।

On this ship, there are only finitely many rooms – therefore, if somebody new arrives, one officer is left without room. This wouldn’t have happened on an infinite ship!
Extract from ‘Murder Ahoy!’, based on the Miss Marple stories by Agatha Christie
© 1964 and 1989 Turner Entertainment Co.

এবার হিলবার্ট একটা চালাকি করলো। তারা ঘোষণা করলো যেনো তাদের প্রতিটি গেস্ট, তাদের কক্ষের সাথে ২ টুইচ করে পরবর্তী কক্ষে চলে যায় বা পাশের কক্ষ বাদ দিয়ে পরবর্তী কক্ষে ভ্রমণ করে । আর এভাবে প্রথম কক্ষের অতিথি ২ নাম্বার কক্ষে চলে যায়, ২ নম্বর কক্ষের অতিথি চলে যায় ৪ নাম্বারে, ৩ যাবে ৬, এবং ৪ যাবে আট সংখ্যক ঘরে এবং So On… ভ্রমণ করতে থাকে। n -Guest চলে যায় 2n কক্ষে। আর এ প্রক্রিয়া পুনরাবৃত্তি হতে থাকে অসীমভাবে। এখন দেখুন,২,৪,৬, ৮… So On জোড় সংখ্যক রুমগুলো পরিপূর্ণ হলেও ১,৩,৫,৭… So On পুরোপুরিভাবে খালি হয়ে যাবে। আর এভাবেই অসীম সংখ্যক বিজোড় সংখ্যা সৃষ্টি হয়। এ প্রক্রিয়ায় অসীম সংখ্যক নতুন গেস্টের জন্য অসীম সংখ্যক পর্যাপ্ত স্পেস তৈরি হয়। Infinity plus Infinity is Still Infinity!

অবশেষে কল্পনা করুন, সম্পূর্ণ বাস কোম্পানীই হোটেলে এসে অবতরণ করলো; তাদের রয়েছে অসীম সংখ্যক অজস্র বাস এবং প্রতিটি বাসে অসীম সংখ্যক আসন। আমরা এখন সে অসীম সংখ্যক বাসের, প্রতিটির মধ্যে অসীম সংখ্যক যাত্রীসহ, অসীম সংখ্যক অসীম যাত্রীকে একটি হোটেলে Move করতে পারবো?

এটা সম্ভব অত্যন্ত সাধারণ একটি নিয়মে। মনে করুন, একজন পেসেঞ্জার বাস নাম্বার X এর আসন Y ‘তে বসে আছে যারা হোটেলের 2X এবং 3J তে স্থান পেয়েছে। এখানে X ও Y যেকোন সংখ্যাই হতে পারে। উদাহরণ স্বরুপ- সীট নম্বর ৫ এবং বাস নাম্বার ২ এর পেসেঞ্জার হোটেলে যে আসনটি পাবে সেটি হল 25 32 = 32×8= 288! (When calculating these factor pairs, it can happen that a number doesn’t have any factors except for the first pair. One example is 13 – its only factors are 1 and 13 itself. These special numbers are called Prime numbers. They can’t be broken up into products of smaller numbers, which, in a way, makes them the “atoms of numbers”.)

Now 2, 3 and 7 are prime numbers and can’t be divided further. The product 2 × 2 × 3 × 7 is called the prime factorisation of 84, and 2, 3 and 7 are its prime factors. Note that some primes, like 2 in this case, can appear multiple times in a prime factorisation.

অবশ্য আমাদেরকে এটা মনে রাখতে হবে যে, আমরা কখনোই দুজন পেসেঞ্জারকে একই রুম দেবোনা। যেহেতু ২ ও ৩ প্রাইম নাম্বার, আর আমরা জানি প্রাইম ফ্যাক্টোরাইজেশন ইউনিক, এর মানে হলো যে, দুটি সংখ্যা সবসময় আলাদা। তাদের রয়েছে ভিন্ন ভিন্ন প্রাইম ফ্যাক্টোরাইজেশন। আমরা কিন্তু পেসেঞ্জারদের 2x 3y প্রাইম ফ্যাক্ট্রোরাইজেশনে নিশ্চিত করেছি, আর এ জন্য ভিন্ন ভিন্ন পেসেঞ্জার সবসময় ভিন্ন ভিন্ন কক্ষ পাবে।

এছাড়া, যে 2 ও 3 ছাড়াও যে সকল কক্ষের প্রাইম ফ্যাক্টর রয়েছে যেমন – ৫, ৭, ১০ and So on…এগুলোও এম্পটি থেকে যাবে। আমরা যদি ইনফিনিট হোটেলে পথ চলি, শুধুমাত্র অল্পকিছু কক্ষই এক্ষেত্রে ব্যবহারিত হবে। অসীম বাসের ক্ষেত্রে এটি একটি উপকারী টার্ম। মধ্যরাতে, যখন অসীম সংখ্যক বাস অসীম সংখ্যক যাত্রী নিয়ে হিলবার্ট হোটেলে Travel করবে , তখন, কাউকে জাগানো ছাড়াই তারা নিজের জন্য যথেষ্ট রুম পাবে কারণ অসীম সংখ্যক রুমের মধ্যে শুধুমাত্র অল্পকিছু কক্ষই ব্যবহার করা যাবে।

কিন্ত আমরা এটা কিভাবে করবো? আমরা জানি যে, সকল প্রাইম সংখ্যার সেট গণনাযোগ্যভাবে অসীম, 2,3,5, 7,11, 13……. n। যদিও এটা আপনার কাছে অদ্ভুত মনে হচ্ছে কিন্তু ৩০০ খ্রিষ্ঠপূর্বে ইউক্লিড এটাকে সত্য প্রমাণ করেছিলেন।

আমরা জানি যে, প্রাইম সংখ্যা গণনাযোগ্যভাবে অসীম। কিভাবে আমরা সাম্প্রতিক গেস্টকে মুভ করতে পারি? শুরুতে, আমরা অসীম সেটের অতিথিকে তাদের সাম্প্রতিক রুম নাম্বার থেকে সরিয়ে দেবো যেটা আসলে ন্যাচারাল নাম্বার( ১,২,৩,৪…. So on)। তারপর আমরা প্রথম প্রাইম নাম্বার ২ ‘কে Power প্রদান করবো। আর এজন্য রুম-১ এর গেস্ট চলে যাবে 21 =2, এবং room2 এর গেস্ট চলে যাবে 22 = 4 নাম্বার কক্ষে।

Maping the Hotel Guest

Bus#1s Room Assignment

তারপর আমরা প্রথম বাস নাম্বারের গেস্টদের দ্বিতীয় প্রাইম নাম্বারের (যেটি হলো ৩) Power নিয়োগ করে ইনফিনিটি হোটেলে জায়গা দেবো। উদাহরণস্বরূপ – প্রথম বাসের যাত্রীদের সীট নাম্বারকেই আমরা এক্ষেত্রে Power হিসেবে ব্যবহার করবো। 1 to 31 =3, এবং 2 to 32 = 9 and So On!

mapping for guests on bus #1

Buss#2′ Room assinment

এক্ষেত্রে আমরা তিনের পরের প্রাইম নাম্বার ৫ কে গ্রহণ করবো এবং ৫ এর Power হিসেবে বাস-২ এর সীট নাম্বার বসাবো।

আর এভাবেই এ প্রক্রিয়া চলতে থাকবে। যখন আমাদের কাছে অসীম সংখ্যক প্রাইম নাম্বার আছে। আমরা এভাবে পরবর্তী প্রাইম নাম্বারের সাথে সীট নাম্বারকে পাওয়ার হিসেবে ব্যবহার করে অসীম সংখ্যক রুম তৈরি করতে পারবো। কারণ প্রতিটি পরবর্তী প্রাইম নাম্বারই নতুন নতুন Power Produce করতে থাকবে যার কারণে নতুন নতুন রুম সৃষ্টি হবে। আমরা অসীম সংখ্যক বাসের, প্রতিটি বাসের অসীম সংখ্যক পরিমাণের অসীম যাত্রীকে হিলবার্টের হোটেলে স্থান প্রদান করতে সক্ষম হবো। আর এভাবে অসীম সংখ্যক যাত্রীর জন্য আমরা একেবারে ইউনিক সংখ্যক কক্ষ খুঁজে পাবো।

mapping for guests on bus #2

গণনাযোগ্যতাঃ

আপনি যদি আরো এগিয়ে যান। তবে আপনার কল্পনার জগতকে আরো সম্প্রসারিত করুন এবং অসীমের মিনিং, আমরা হোটেলকে এখন আর ব্যবহার করতে পারবোনা। আমাদেরকে আমাদের ধারণা প্রকাশ করার জন্য ভিন্ন একটি ভাষা ডেভেলাপ করতে হবে। আর এই ভাষাকেই বলা হয় Set Theory!

সেট বলতে বোঝায় মূলত A Collection of Any object – সেটা ফল, বিল্ডিং অথবা সংখ্যা যেকোনোকিছুই হতে পারে। সেটকে প্রায়শ {} ব্রাকেটের ভেতর লিখতে হয়। আমরা দুটো সেটকে একই আকারের বলতে পারি যদি না আমরা উভয় সেটের প্রতিটি উপাদানকে পুরোপুরি ভাবে একে অপরের সাথে কানেক্ট করে জোড় তৈরি করতে পারি, কোন একটি উপাদানকেও ত্যাগ না করে। এ ধরণের Pairing’কে বাইজেকশন বলা হয়।

File:Surjection Injection Bijection-fr.svg - Wikimedia Commons

এটি সসীম সেটের পাশাপাশি অসীম সেটের উপরও প্রয়োগ করা যায় এবং আমরা বলতে পারি যে একটি সেট গণনাযোগ্য যদি না এটি ন্যাচারাল নাম্বার N=1,2,3, 4,5 ইত্যাদির সাথে জোট তৈরি করতে পারে। এক্ষেত্রে আমরা এর সকল উপাদানকে আমাদের তালিকায় অন্তর্ভুক্ত করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ – আমরা একের অধিক নাম্বার যোগ করতে পারি N এর সাথে, ধরা, যাক ০ এবং তারপর আমরা এদেরকে জোড়া লাগাতে পারি।

যেহেতু কালো ও হলুদ রঙের সেট একে অপরের সাথে কোনোপ্রকার গ্যাপ বা ওভারল্যাপ ছাড়াই জোড় গঠন করেছে, আমরা বলতে পারি যে তাদের আকার সমান। অসীম যোগ এক আবারও অসীমই থেকে যায়। যেখানে আমরা অসীম সংখ্যক গেস্টকে অসীম সংখ্যক কক্ষে এড করতে পারি।

আমরা এর চেয়েও ভালো করতে পারি। চলুন প্রথমে আমরা পজেটিভ ইনেজার্চ বা পূর্ণসংখ্যা নিয়ে কাজ করি N= (1,2,3,4,5…..) এর সাথে Total integers Z={…. -3,-2,-1,1,2,3) }।

এবার আমরা ন্যাচারাল নাম্বার থেকে পজেটিভ ও নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যার দিকে জাম্প দিতে পারি যেটাকে বোঝার জন্য আপনার একটি এনিমেশন দেখা প্রয়োজন। অসীম যোগ অসীম, তারপরও অসীমই থেকে যায় এবং মনে হয় যেনো পজেটিভ পূর্ণসংখ্যা সমাগ্রিক পূর্নসংখ্যার মধ্যে বেশিই রয়েছে।

এরপর আমরা আবারও পজেটিভ পূর্নসংখ্যার সাথে পজেটিভ মূলদ সংখ্যার একটা জোড় গঠন করতে পারি। মূলত সংখ্যার মধ্যে সবগুলোই আসলে ফ্র‍্যাকশন বা ভগ্নাংশ যেমন- ১/২, ৭/৪০, ১৩/ ১৭ এন্ড সো অন।

আমরা এটা করার জন্য অসীম গ্রীডের মধ্যে সর্বপ্রথম সকল ফ্র‍্যাকশন লিখে ফেলবো যেখানে কলাম হলো numerator বা লব এবং সারি হলো Denominator বা হর। কিছু ফ্র‍্যাকশন কয়েকবার প্রতীয়মান হয় ১/২ উদাহরণস্বরূপ ২/৪ ও ৩/৬ এর সমান এন্ড সো অন। আর এ জন্য আমরা প্রতিলিপি বা ডুপ্লিকেটগুলো ডিলিট করে দিয়ে শুধুমাত্র ক্ষুদ্রতর ভার্সনটিকেই রেখে দেবো।

তারপর আমরা একটি স্কয়ারের ভেতর দিয়ে পথ অনুসরণ করবো এবং প্রতিবারই আমরা দেখবে Valid Rational Number.

এটা বাস্তবিকই খুবই বিস্ময়করঃ স্মরণ করুন যে, অসীম ভাবে অজস্র মূলদ সংখ্যা রয়েছে ০ এবং ১ এর মাঝখানে। (আসলে, যেকোন স্বতন্ত্র দুটি সংখ্যার মাঝেই অসীম সংখ্যক মূলদ সংখ্যা থাকে, কোন ব্যাপারই না, তারা পারস্পরিক যতই নিকটবর্তী হোক। কিন্তু যখনই আমরা এ মূলদ সংখ্যাকে ন্যাচারাল নাম্বারের সাথে জোড়া লাগাই, এখানে একই পরিমাণ সংখ্যাই থাকে। অনন্ত সময় অনন্ত আবারও অনন্ত প্রমাণিত হয়।

ক্যান্টর ডায়াগোনালঃ

আপনাদের এখন মনে হতে পারে ন্যাচারাল নাম্বারের সাথে যেকোনো নাম্বারের জোড় গঠন করা যায়। কিন্তু এটা আসল কেস নয়। তার একটি উজ্জ্বল দৃষ্টান্ত রিয়েল নাম্বার, যা সকল ফ্র‍্যাকশন বা ভগ্নাংশ ছাড়াও, পাই, E, √2 কেও অন্তর্ভুক্ত করে। যদিও অসীমভাবে অসংখ্য রিয়েল নাম্বার রয়েছে, কিন্ত এ ইনফিনিটি আগেরটির চেয়েও অনেক অনেক বিশাল এবং আমরা বলতে পারি যে রিয়েল নাম্বার আসলে গণনাতীত। আমরা যদি প্রমাণ করতে চাই রিয়েল নাম্বার আসলে ন্যাচারাল নাম্বারের সাথে জোড় গঠন করেনা তবে আমরা এটাকে Contradiction এর মাধ্যমে প্রমাণ করতে পারি। প্রথমে, আমরা কল্পনা করতে পারি যে, রিয়েল নাম্বার গণনাযোগ্য। আমরা যখনই গণনাতীত কোন সংখ্যাকে গণনাযোগ্য বলে ধরে নেই তখনই আমরা একটি স্ববিরোধ জন্ম দেই। কারণ এর মানে হলো, এর ফলে আমাদের প্রাথমিক বক্তব্য মিথ্যা প্রমাণিত হয় যে, রিয়েল নাম্বার গণনাতীত।

আমরা সকল রিয়েল নাম্বারকে ডেসিমালে প্রকাশ করতে পারি। ডেসিমাল এক্সপেন্সশন অনন্তকাল চলতে থাকে। যেমন- ০.৩৩৩৩৩৩৩…………or Stop যেক্ষেত্রে আমরা 0s যোগ করতে পারি ০. ১২৩০০০০০….। এবার মনে করেই নিন, রিয়েল নাম্বার গণনাযোগ্য। তাহলে আমরা নিচের লিস্টে সকল রিয়েল নাম্বারকে লিখে প্রকাশ করবো। নিচের লিস্টের প্রতিটি সারি নতুন নাম্বার এবং প্রতিটি কলাম হলো রিয়েল নাম্বারের ডেসিমাল এক্সপেন্সশনঃ

এবার আমরা ডায়োগনাল বা কোণাকোণিভাবে একটি নতুন নাম্বার গ্রহণ করবো যেটি কোণাকোণিভাবে অবস্থিত প্রতিটি উপাদানকে নিজের মধ্যে অবধারণ করে।

এবার আমরা প্রতিটি ডিজিটকে নতুন একটি নাম্বারে পরিণত করবো। এটি আবারও একটি রিয়েল নাম্বার। লক্ষ করুন। এ নাম্বারটি কিন্তু আমাদের প্রাথমিক লিস্টে ছিলোনা। এটি প্রাথম সংখ্যা হতে পারেনা যেহেতু X11 ডিজিট মিলছেনা। এটি সেকেন্ড নাম্বার হতে পারেনা কেননা X22 ডিজিট ম্যাচ করছেনা এবং So On! Y11Y12Y33 সম্পূর্ণ নতুন একটি নাম্বার। এটি একটি কন্ট্রাডিকশন। আমরা প্রথমেই ধরে নিয়েছিলাম যে রিয়েল নাম্বার গণনাযোগ্য এবং আমরা তার লিস্টও তৈরি করেছিলাম। কিন্তু সে লিস্টের মধ্যে এমন কোন সংখ্যা কিভাবে অস্তিত্বহীন হতে পারে যা সম্পূর্ণ নতুন? তার মানে, কী এই নয়, যে রিয়েল নাম্বার আসলে গণনা যোগ্য নয়? তার মানে কী এই নয়, যে এটি আরো বড় মাপের ইনফিনিটি?

আমরা একসময় মনে করতাম, দুটি আলাদা অসীম আসলে সমান আকৃতির। এটি আমাদের প্রচলিত জ্ঞানে প্রচন্ড ধারণায় প্রচন্ড একটা ধাক্কা দেয়। গণিতের সবচেয়ে বড় একটি সমস্যা, অসীম আকারের একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার অসীমত্ব ও রিয়েল নাম্বারের তার থেকে বড় অসীমত্বের মাঝামাঝি কোন অসীমত্বের অস্তিত্ব আছে কিনা! এ সমস্যাটি প্রথম আবিষ্কৃত হয় আজ থেকে একশত বছর পূর্বে। সে সময় গণিতবিদরা জানতে পেরেছিলেন যে, রিয়েল নাম্বার ন্যাচারাল নাম্বার থেকে অনেক বিরাট কিন্তু তারা এটা জানতেননা যে রিয়েল নাম্বার আসলে কতটা বিরাট। এর থেকেও বিরাট আকারের অসীমের অস্তিত্ব কি আছে? তাদের উভয়ের মাঝখানে কি কোনো অসীমের অস্তিত্ব আছে?

ইউনিভার্সিটি অব শিকাগোর Maryanthe Milliaris এবনহ হিব্রু ইউনিভার্সিটির সালেহ, একটি অসীম অন্য আর একটি অসীম থেকে ছোট হতে পারে কিনা এ ব্যাপারটি নিয়ে প্রায় ৭০ বছর গবেষণা করেছিলেন। ক্ষুদ্র ইনফিনিটিকে তারা P এবং বিশাল ইনফিনিটিকে T বলেছিলেন। তারা প্রমাণ করেছিলেন, দুটি আসলে এক যেটি গণিতবিদদের বিস্মিত করেছিল। সালেহ বলেন, P should not less then T! মিলারি ও সালেহ ২০১০ সালে Confinalty spectrum Theorems on model theory, set Theory and Genaral Topology শিরোনামে এ আর্টিকেলটি আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যান সোসাইটিতে প্রকাশ করেন। কিন্তু তাদের এ কাজ একটা গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেনি আর তা ছিল, কিভাবে এ দুটি ইনফিনিটি একে অপরের সাথে সম্পৃক্ত থাকতে পারে? এটি অসীমের আকারের মধ্যে একটি অপ্রত্যাশিত লিংক খুলে দেয় এবং সমান্তরাল প্রচেষ্টা কিভাবে এ ম্যাথমেটিক্যাল থিয়োরির জটিলতাকে ম্যাপ করা যায়!

অসংখ্য অসীমঃ

The notion of Infinity is Mind Bending কিন্তু সে ধারণার ব্যাপারে কী বলবেন যখন বলা হয় ভিন্ন ভিন্ন আকারের ইনফিনিটির কথা? সম্ভবত, এটা সবচেয়ে বিপরীতমূখী গাণিতিক আবিষ্কার। এ ব্যাপারটি অত্যন্ত সহয একটি ব্যাপার থেকে নির্গত হয়, সিম্পলি Matching Game যেটা কিনা একজন শিশুর পক্ষেও খেলা সম্ভব।

মনে করুন, আপনার দুটি গ্রুপের অবজেক্ট আছে। যেটাকে আমরা দুটি সেট বলতে পারি। যেমনটি গণিতবিদরা বলে থাকেন। সেট অব কার এবং সেট অব ড্রাইভার। যদি আপনার কাছে প্রতিটি গাড়ীর জন্য একদম পুরোপুরি একজন করে ড্রাইভার থাকে তবে, কোন কারই আর খালি থাকবেনা, কোন ড্রাইভারই আর অবশিষ্ট থাকবেনা। তখন আপনি বলতে পারবেন যে কারের সংখ্যা আসলে ড্রাইভারের সংখ্যার সমান।

১৯ শতকে, জার্মানের একজন বিখ্যাত গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর, আত্মা ছিন্ন করে দেয়ার মতো একটি আনুষ্ঠানিক গাণিতিক কৌশল আবিষ্কার করেন এ ধরণের সমন্বয়ের জন্য। তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে দুটি সেট আসলে সমান অথবা “কার্ডিনালিটি”, যখন আমরা প্রতিটি উপাদানের সাথে One to One Correspondence স্থাপন করি বা যখন প্রতিটি কারের জন্য এক্স্যাক্টলি একজন করে ড্রাইভার থাকে। তিনি আবিষ্কার করেন, বিস্ময়করভাবে এ ব্যাপারটি অসীমভাবে বিরাট সেটের ক্ষেত্রেও কাজ করে।

বিবেচনা করুন, ন্যাচারাল নাম্বারঃ ১,২,৩ and So on। ন্যাচারাল নাম্বারের এই সেট অসীম। কিন্তু জোড় সংখ্যা বা Even number এর সেট সম্পর্কে কী বলবেন? অথবা প্রাইম নাম্বার? এদের প্রতিটিকেই প্রথমে মনে হয় ন্যাচরাল নাম্বারের ক্ষুদ্রতর সাবসেট। এবং মূলত, নাম্বার লাইনে এদের রয়েছে সীমিত ব্যাপ্তি, ন্যাচারাল নাম্বারের প্রায় অর্ধেকই হলো ইভেন নাম্বার বা জোড় সংখ্যা কিন্তু তারপরও প্রাইম নাম্বারের সংখ্যা খুবই ক্ষুদ্রতর। তবুও অসীম সেট ভিন্ন রকম আচরণ করে। ক্যান্টর দেখিয়েছেন, এ অসীমের উপাদানগুলোর মধ্যে One to One Correspondence করা সম্ভব।

কারণ ক্যান্টরের মতে, এ তিনটি সেট আসলে সমান। গণিতবিদরা এ সকল সেটের সাইজকে Countable বলতেন। কারণ আপনি এ প্রতিটি সেটের প্রতিটি উপাদান গণনা করতে পারতেন। কিন্তু যখনই ক্যান্টর কিছু ইনফাইনিটিকে One to one Correspondence এর মাধ্যমে তুলনা করলেন, তিনি এক বিশাল এক ঝাপ দিলেন, তিনি প্রমাণ করলেন যে, কিছু অসীম অন্য অসীম থেকে অনেক বিশাল।

অসম অসীমঃ

সকল রিয়েল নাম্বার যেগুলোকে আমরা ন্যাচারাল নাম্বারের সাথে জোড় করি সেগুলো কী একে অন্যের সমান? যদি তাই হয়, আমাদের অবশ্যই গণনাযোগ্যভাবে সকল রিয়েল নাম্বারের অসীম লিস্ট তৈরি করতে পারা উচিত। কিন্তু আমরা সেটা পারিনি। আবারও আপনাদের বোঝার সুবিধার্থে একটি চিত্র দেয়া হলো।

তারপরও এ লিস্ট সবসময় অসম্পূর্ণ থেকে যাবে। কেন সেটা জানতে, আপনি প্রথম ডেসিমাল প্লেসের ভ্যালু পরিবর্তন করুন। এবং সেকেন্ড ডেসিমাল প্লেস থেকে সেকেন্ড নাম্বার and So on! তারপর প্রতিটি পরিবর্তিত নাম্বারকে একত্রিত করুন।

এখন আপনি যে সংখ্যাটি পেয়েছেন সেটি হল, 0. 2987…!

এ সংখ্যাটিকে মূল তালিকায় পাওয়া যাবেনা। এটি প্রথম ডেসিমাল প্লেসের প্রথম নাম্বার থেকে আলাদা এবং সেকেন্ড ডেসিমাল প্লেসের সেকেন্ড নাম্বার থেকে and So on. এর মানে হলো, ন্যাচারাল নাম্বার থেকে রিয়েল নাম্বারের পরিমাণ বেশি। অতএব অন্তত পক্ষে অসীমের দুটি আকার আছে। একটি কাউন্টেবল আর অন্যটি আনকাউন্টেবল।

এবার রিয়েল নাম্বারের কথা চিন্তা করুন, যেটি সংখ্যা রেখার সকল পয়েন্টে অবস্থিত। রিয়েল নাম্বারকে মাঝে মাঝে “Continuum” বলা হয় যেটি তাদের কন্টিনিউয়াস বা চলমান প্রকৃতি প্রতিফলিত করে। রিয়েল নাম্বারের আগে ও পরে কোন স্পেস থাকেনা। ক্যান্টরই সর্বপ্রথম আবিষ্কার করেন যে রিয়েল নাম্বারকে ন্যাচারাল নাম্বার এর One to one Correspondent এ রাখা যায়না। আপনি যদি এমনকি ন্যাচারাল নাম্বারের সাথে রিয়েল নাম্বারের জোড় করে অসীম লিস্টও তৈরি করেন, এটা সম্ভব যে, নতুন আর একটি রিয়েল নাম্বার নির্গত হবে যেটি আপনার অসীম লিস্টে ছিলোনা। আর এ কারণে তিনি সিদ্ধান্তে আসেন যে, রিয়েল নাম্বার আসলে Set of Natural Number এর থেকে অনেক বিশাল। আর এ ভাবে দ্বিতীয় প্রকারের অসীমত্বের জন্ম হয়ঃ যেটি Uncountably Infinite! কিন্তু ক্যান্টর একটা জিনিস বুঝতে পারেনি যে মধ্যবর্তী আকারের কোন অসীমের অস্তিত্ব আছে কিনা! ন্যাচারাল নাম্বারের গণনাযোগ্য ও রিয়েল নাম্বারের গণনার অযোগ্য অসীমের মাঝখানে ভিন্ন কোন অসীমকে তিনি দেখাতে পারেননি। তিনি একটি অনুমান করতে ব্যর্থ হয়েছেন যেটাকে কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিস বলে। ১৯০০ সালে জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট তেইশটি গাণিতিক সমস্যা আবিষ্কার করেন যেগুলোর মধ্যে তিনি কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিসকে সর্বোচ্চ স্থানে রেখেছিলেন। এটি সুস্পষ্টভাবে একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন যেটার উত্তর আমাদের পেতে হবে। কিন্তু প্রায় এক শতাব্দী ধরে আমরা এ প্রশ্নের উত্তর খুঁজে যাচ্ছি, Do in-between Infinity Exist? We may Never Know! (দশমাত্রিক জগতের কল্পনা)

আমরা উপরে দেখেছি, N, Z অথবা Q প্রত্যেকের কার্ডিনালিটি সেইম, যেটাকে বলা হয় আল্ফা ০ ℵ0 ( Aleph is the Hebrew letter A)। আমরা আরো দেখিয়েছি, Real number R have a bigger Cardinality! একবার ক্যান্টর প্রশ্ন করেছিলেন, R এর কার্ডিনালিটি কি ℵ0 কার্ডিনালিটির পরের বড় অসীম কি না( ঠিক যেমনি 1 is next bigger integer after 0) এটাকেই মূলত, কন্টিনিউয়াম হাইপোথেসিস বলে। ক্যান্টর তার জীবনের বহু বছর এটা প্রমাণ করার জন্য অপচয় করেছিলেন কিন্তু তিনি ব্যর্থ হয়েছেন। পরবর্তীতে ১৯৬১ সালে একজন গণিতবিদ কৌতুহল উদ্দীপক কিছু একটা আবিষ্কার করেন। তিনি বলেন, continuum Hypothesis সত্য অথবা মিথ্যা হতে পারে কিন্তু এটি সত্য কি মিথ্যা কোনোদিনও প্রমাণ করা সম্ভব না। এর মানে, হল যে, আপনি আপনার জন্য সিদ্ধান্ত গ্রহণ করতে পারেন, আপনি সত্য বা মিথ্যা! Continuum Hypothesis এর মত একটি Unprovable Existence সর্বপ্রথম আবিষ্কার করেছিলেন, কার্ট গোডেল।

তথ্যসুত্রঃ

hsbd bg