প্লেন জিওমেট্রি ফর হাইপারস্পেস

হাইপারস্পেস সরলীকরন

ধরে নিন আপনি বাংলাদেশ জাতীয় ফুটবল দলের একজন স্ট্রাইকার  । বাংলাদেশ বনাম মায়ানমার  এর কোনো একটি ম্যাচে আপনি  D Box এর বাহির থেকে  একটি ফ্রী কিক নিয়ে  একমাত্র গোলটি আপনি করেছিলেন । আপনার  কিক নেবার  সময়টির  একটি স্ন্যাপশট  আমরা ঘাটছি  ।

আপনার লেফ্ট সাইডে  Corner Stump  ধরে দাড়িয়ে থাকা  লাইনম্যান  দাবি করলেন যে আপনি  কিক নেবার  সময়  উনার থেকে  52  মিটার  দুরত্তে  অবস্থিত ছিলেন কিন্তু  প্রতিপক্ষের গোল কীপার দাবি করে বসলেন যে , আপনি  গোল কীপার থেকে  32 মিটার দুরে ছিলেন ।

এই দুজন ব্যক্তির দাবিকে আপনি নাকোচ করতে পারবেন কি ?

না , পারবেননা । কারন তাহারা সঠিক ছিলেন । আপনি তাহাদের নিজ নিজ সাপেক্ষে ভিন্ন দুরত্তে অবস্থান করছিলেন ।

ঠিক সেইভাবে জগতের প্রতিটা বস্তু অন্য প্রতিটা বস্তুর থেকে ভিন্ন ভেক্টরিয়াল প্লেসে অবস্থান করে , যেখানে দুটো বিন্দুর স্থানাংক  একই হবেনা ( সাধারন গণিত অনুসারে ) ।

কার্টেজিয়ান  জিওমেট্রিতে  জগতের সমস্ত বিন্দুকে  ভিন্ন ভিন্ন ভাবে প্রসঙ্গ  বিন্দু ধরে প্রতি প্রসঙ্গ বিন্দুর সাপেক্ষে বাকি সকল বিন্দুর অবস্থনের যে অসীম সেট তৈরী হয় সেই সেটে  সকল উপাদানই  ভিন্ন ভিন্ন হয় ।

কার্টেজিয়ান টু-ডাইমেনশনাল জিওমেট্রি :

 বীজগণিতের  সাথে জ্যামিতির সম্পর্ক স্থাপন ও  বীজগণিতের দ্বারা জ্যামিতির  অধ্যয়নের সফল সূচনা করেন গণিতবিদ রেনে ডেকার্টে  । তিনি  সমতলে কোনো বিন্দুকে  কোনো নির্দিষ্ট  রেফারেন্স ফ্রেম এর অরিজিনের সাপেক্ষে  অবস্থান নির্দিষ্ট করেন ।

রেফারেন্স ফ্রেম :

        

দুইটি সরলরেখা XOX’ এবং  YOY’ যদি কোনো সমতলে অঙ্কিত হয় এবং ইহারা যদি পরস্পর সমকোনে চ্ছেদ  করে তবে XOX’ রেখাকে বলা হবে X অক্ষ এবং YOY’ কে বলা হবে Y অক্ষ । উভয় রেখা পরস্পর পরস্পরকে O বিন্দুতে চ্ছেদ করে এবং ইহাকে অরিজিন বলা হয় ।

অক্ষদ্বয় পরস্পর পরস্পরকে চ্ছেদ করে সমতল জগতকে যে চারটি সমান ভাগে ভাগ করে এগুলোকে বলা হয় একেকটি কোয়াড্রেন্ট ।

অরিজিন থেকে OX রশ্মির দিককে বলা হয় X অক্ষের ধনাত্নক দিক এবং OX’ রশ্মির দিককে বলা হয় ঋনাত্নক দিক । একইভাবে  OY রশ্মির দিককে বলা হয়  Y  অক্ষের ধনাত্নক দিক এবং OY’ রশ্মির দিগকে বলা হয় ঋনাত্নক দিক । পরস্পরচ্ছেদী অক্ষদুটিকে গবেষক নিজের প্রয়োজন অনুযায়ী  দৈর্ঘের  ক্ষুদ্র বা বৃহৎ এককের স্কেলের সাথে তুলনা করেন ।

কোনো সমতলে এই পরস্পরচ্ছেদী  সিস্টেমটিকে বলা হয় প্রশঙ্গ কাঠামো । কোনো একটি সমতল জগতে উক্ত প্রশঙ্গ কাঠামোর মুল বিন্দুর সাপেক্ষে  অন্য সকল বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় গণিত সিদ্ধ ।

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Y Axis. X Axis. -X Axis. -Y Axis. Quadrant 2. Quadrant 1. Quadrant 3. Quadrant 4.
চিত্র : ১.১ ,১.২       কার্টেজিয়ান রেফারেন্স  ফ্রেম

কার্টেজিয়ান প্লেনে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় :

মনে করি  অক্ষদ্বয়ের জগতে কোনো একটি বিন্দু  P অবস্থিত । যদি  P বিন্দুটি  First Quadrant এ  অবস্থিত হয় তবে  চিত্রটি হবে নিন্মরূপঃ

চিত্র ২ : কার্টেজিয়ান প্লেনে বিন্দুর অবস্থান ।

P বিন্দু থেকে  X অক্ষের ধনাত্নক দিকের উপর  অঙ্কিত লম্বের  দৈর্ঘ্য  y একক   এবং Y  অক্ষের ধনাত্নক দিকের উপর  অঙ্কিত লম্বের  দৈর্ঘ্য x একক । এতে এই বুঝাচ্ছে  যে যদি আপনি P বিন্দুতে অবস্থান করেন তবে X অক্ষ থেকে  আপনার দুরত্ত  y একক এবং  Y অক্ষ থেকে  আপনার দুরত্ত  x একক ।

আপনি বিষয়টিকে এভাবেও ভাবতে পারেন , আপনি  ছিলেন অরিজিন O তে । যাত্রা শুরুতে  X অক্ষের ধনাত্নক দিকে হেঁটে x  দুরত্ত  অতিক্রম করলেন অতঃপর  Y অক্ষের ধনাত্নক দিকে হেঁটে y  দুরত্ত  অতিক্রম করে P বিন্দুতে স্থির হলেন ।

উল্লেখিত  কাঠামোর সাপেক্ষে আপনার জ্যামিতিক অবস্থানকে এবার P(x,y) লিখে প্রকাশ করা হলো । ইহাই সমতল জগতে আপনার অবস্থানের  কার্তেসীয় প্রকাশ ।

উদাহরনস্বরুপ চিত্র :৩ তে কোনো সমতল জগতে তিন জন ব্যক্তির অবস্থান নির্দিষ্ট করা হল । ব্যক্তির অবস্থান  ( 2 ,3 ) তে হলে ইহাই প্রকাশ পায় যে তিনি  X অক্ষের ধনাত্নক দিকে 2 একক এবং Y  অক্ষের সমান্তরালে  ধনাত্নক দিকে  3 একক দুরত্ত অতিক্রম করেছেন । 

কিন্তু ব্যক্তি যদি ( -3 , 1) বিন্দুতে অবস্থিত হন তবে তাহার অবস্থান নির্দেশ করবে যে তিনি  X অক্ষের   ঋনাত্নক দিকে 3 একক হেঁটে Y অক্ষের ধনাত্নক দিকে  1 একক হেঁটেছেন ।




 
চিত্র ৩ :  কার্টেজিয়ান প্লেনে বিন্দুর অবস্থান ।

একাধিক বিন্দুর অবস্থান ও মধ্যবর্তী দূরত্ব :

ধরা যাক  জ্যাক এবং জিল দুই বন্ধু । কোনো একটি  কার্তেসীয় সমতল জগতে তাহাদের বসবাস । জ্যাক যদি p(x1 , y1) বিন্দুতে অবস্থিত হয় তবে Q(x2 , y2) বিন্দুতে জিলের অবস্থান যুক্তিযুক্ত । যেহেতু তারা জগতের দুটো ভিন্ন বিন্দুতে অবস্থিত সেহেতু   তাহাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব শূন্য নয় ।




 
চিত্র ৩ : কার্তেসীয় সমতলে দুটো বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব ।

আমরা চির পরিচিত মহান পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সরাসরি প্রয়োগ করে  জ্যাক  এবং জিলের  মধ্যবর্তী দূরত্ব বের করতে পারি যখন এঙ্গেল PTQ =  এক সমকোন  ।

p(x1 , y1) হতে Q(x2 , y2 )এর স্কেলার দুরত্ত , D = {(x2 – x) + (y– y1 )2 }1/2   …………………….. 1

   .   যা সমতল জগতে যেকোনো রেফারেন্স ফ্রেমের সাপেক্ষে  জ্যাক  এবং জিলের  সকল অবস্থানের জন্য সত্য ।

এ ধারনাকে আরও স্পস্ট করতে আমরা নিচের উদাহরনকে লক্ষ করব । যেখানে দুটো বিন্দু যথাক্রমে ( 3 , 4 ) এবং ( 2 , 2 ) । যদি ইহাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব D হয়  তবে সমাধান নিন্মরুপ :

অতএব  বিন্দুদ্বয় প্রায় 2.24 আপেক্ষিক একক দুরত্তে অবস্থান করছে

বিন্দুর মুভমেন্ট :

চিত্র ২ দেখুন  । মনে করুন জগতটিতে আপনার আদি অবস্থান  p(x1 , y1) । আপনি আপনার অবস্থান থেকে সরে গিয়ে এখন আপনি  Q(x2 , y2 ) তে অবস্থান  করছেন । তবে  এখানে আপনার এই স্থানিক সরনকে  প্রকাশ করতে অবস্যই  দিক নির্দেশক এর পয়োজন হবে । এক্ষেত্রে  X অক্ষের সাপেক্ষে  আপনার দিক নির্দেশক হবে M , যাহাকে  ঢাল বলা হয় ।

ঢাল, M = Tan𝜭 = ( y– y1 ) / ( x2 – x1 ) ………………………………………… 2

 যেখানে  PQT একটি সমকোনী ত্রিভুজ । যার  কোন  T সমকোন এবং  কোন TPQ = 𝜭    .

অতএব ,  আপনার মুভমেন্টকে  খুব সহজে এভাবে ব্যক্ত করা যায় যে আপনি  P থেকে ঢাল M নিয়ে D দুরত্ত অতিক্রম করে  Q বিন্দুতে  স্থির হলেন ।

এবার উদাহরন দেখব ,

ধরুন আপনি  ( 3 , 2 ) বিন্দু হতে  ( 7 , 5 ) বিন্দুতে সরে গেলেন । তবে আপনার

আনাভূমিক সরন  7 – 3 = 4

এবং উলম্ব সরন  5 – 2 = 3

অতএব  আপনার  স্লোপ = 3 / 4    . 

সরলীকরন করলে বলা যায়  আপনি  ( 3 , 2 ) বিন্দুটি  থেকে  3 / 4    ঢাল নিয়ে যাত্রা করে   ( 7 , 5 ) বিন্দুতে গিয়ে উপস্থিত হলেন ।

 হাইপারস্পেস বুঝতে হলে স্লোপ সংক্রান্ত সকল ধারনাকে হৃদয়ঙ্গম করা জরুরী । যেমন ,  N ডাইমেনশনাল জগতের কোনো অবজার্ভার গ্রহন যোগ্য যেকোনো মাত্রিক জগৎ থেকে শুরু করে   N – 1 ডাইমেনশনাল জগৎ পর্যন্ত  জগতগুলোর প্রকৃত রূপকে  বুঝতে সক্ষম হলেও N th ডাইমেনশনাল জগৎ    এর  প্রকৃত রূপকে  বুঝতে অক্ষমই থাকবেন । কারন তিনিও N তম মাত্রাতে N মাত্রার  সমান স্লোপ নিয়ে অবস্থান করবেন ।

উচ্চ মাত্রিক  জগতকে বুঝতে হলে জ্যামিতির ফিজিক্যাল সিগনিফিকেন্সকে হৃদয়ঙ্গম করতে হবে । ( দশমাত্রিক জগতের কল্পনা )

hsbd bg